解法一:∵點P在圓C:(x-3)2+(y-4)2=4上,
∴可設(shè)P點的坐標為(3+2cosθ,4+2sinθ).
又A(-1,0)、B(1,0),
∴|AP|2+|BP|2=(3+2cosθ+1)2+(4+2sinθ)2+(3+2cosθ-1)2+(4+2sinθ)2=60+32sinθ+24cosθ=60+40sin(θ+)(其中tan
=
).
當sin(θ+)=-1時,(|AP|2+|BP|2)min=20,
此時60+24cosθ+32sinθ=20,即3cosθ+4sinθ=-5.
由得
∴P點的坐標為(,
).
解法二:設(shè)P點的坐標為(x,y).
∵A(-1,0)、B(1,0),
∴|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2.
要使|AP|2+|BP|2取得最小值,需使|OP|2最小.
又點P為圓C:(x-3)2+(y-4)2=4上的點,∴(|OP|)min=|OC|-r(r為半徑).
由(x-3)2+(y-4)2=4,知C(3,4),r=2.
∴|OC|-r=-2=5-2=3,即(|OP|)min=3.
∴(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20.此時,OC:y=x.
由得
或
(舍).
∴點P的坐標為(,
).
點評:解法一是利用了圓的參數(shù)方程的形式設(shè)出了點P的坐標,使所求的式子轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式,利用三角函數(shù)法求最值;解法二設(shè)出的是P點的普通坐標(x,y),使要求的式子轉(zhuǎn)化為求圓上的點到原點的距離問題,利用數(shù)形結(jié)合法求最值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
PA |
2 |
PB |
PA |
2 |
PB |
BC |
BD |
BA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:學(xué)習(xí)高手必修二數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型:044
平面上兩點A(-1,0),B(1,0),在圓C:(x-3)2+(y-4)2=4上取一點P,求使|AP|2+|BP|2取得最小值時點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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