Question

對正整數(shù)n，設(shè)拋物線y²=2（2n+1）x，過P（2n，0）任作直線l交拋物線于A_n，B_n兩點(diǎn)，則數(shù)列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n項(xiàng)和公式是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），直線方程為x=ty+2n，代入拋物線方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，求出

OAn

•

OBn

的表達(dá)式，然后利用韋達(dá)定理代入得

OAn

•

OBn

=-4n²-4n，故可得

OA n• OB n

2(n+1)

=-2n，據(jù)此可得數(shù)列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n項(xiàng)和．

解答：解：設(shè)直線方程為x=ty+2n，代入拋物線方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，
設(shè)A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），
則

OAn

•

OBn

=xn1xn2+yn1yn2=(t2+1)yn1yn2+2nt(yn1+yn2)+4n2，
用韋達(dá)定理代入得

OAn

•

OBn

=-4n(2n+1)(t2+1)+4n(2n+1)t2+4n2=-4n2-4n，
故

OA n• OB n

2(n+1)

=-2n，
故數(shù)列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n項(xiàng)和-n（n+1），
故答案為-n（n+1）．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題的知識點(diǎn)，向量與圓錐曲線，數(shù)列結(jié)合時，一般使用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與方程的根聯(lián)系起來，從而轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系．這是處理向量與圓錐曲線綜合問題的基本思路．