Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直觀圖和三視圖如圖所示，其主視圖BB₁A₁A和側(cè)視圖A₁ACC₁均為矩形，其中AA₁=4．俯視圖△A₁B₁C₁中，B₁C₁=4，A₁C₁=3，A₁B₁=5，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)BC₁與B₁C相交與O，只要證明OD∥AC₁，利用線面平行的判定定理證明；
（2）由三視圖得到三棱柱的各棱長，通過（1）得到異面直線所成的角，然后由余弦定理求之．

解答： （1）證明：設(shè)BC₁與B₁C相交與O，則O是B₁C的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D∥AC₁，又OC?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁；
（2）解；由（1）得到OD∥AC₁，異面直線AC₁與B₁C所成角的為∠COD或者∠B₁OD，
又AA₁=4，AC=3，BC=4，所以AB=5，OC=2

2

，所以O(shè)D=

5

2

，CD=

5

2

，
所以cos∠COD=

OC2+OD2-CD2

2OC×OD

=

2

5

，
所以異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值

2

5

．

點(diǎn)評：本題考查了幾何體的三視圖以及線面平行的判定和異面直線所成的角，正確將問題轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．