Question

橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e＝，橢圓上各點(diǎn)到直線l：x－y＋＋＝0的最短距離為1，求橢圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)． 　　∵e＝＝，∴可得a2＝4b2，∴橢圓方程為＋＝1． 　　設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)為M(2bcosθ，bsinθ)，則M到直線l的距離 　　d＝ 　　＝． 　　∵dmin＝1，∴橢圓完全在l下方， 　　∴sin(θ＋)＋＋＞0恒成立． 　　當(dāng)sin(θ＋)＝－1時(shí)，dmin＝，得b＝1． 　　∴a2＝4b2＝4，∴橢圓方程為＋y2＝1． 　　分析一：特點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解． 　　解法二：設(shè)∥l，與橢圓相切，且是橢圓距離l較近的一條切線，則與l間的矩離為1，設(shè)：x－y＋m＝0． 　　∵＝1， 　　∴m＝或m＝＋2(舍)． 　　∴的方程為y＝x＋． 　　由e＝，設(shè)橢圓方程為＋＝1，即x2＋4y2＝4b2． 　　將y＝x＋代入得5x2＋8x＋20－4b2＝0，由Δ＝(8)2－4×5×(20－4b2)＝0得b2＝1． 　　故橢圓方程為＋y2＝1． 　　分析二：將直線l平移到，使與橢圓相切，則平行線與l間的距離為1，據(jù)此解決問題．

提示：

評注：涉及曲線上的點(diǎn)到直線的距離最短(或最長)的問題，往往利用平移法，將直線平移到與曲線相切，從而將問題轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離問題．