Question

(1)己知z＝x＋yi(x，y∈R)滿足|z－4i|－|z＋2|＝0，求的最小值．

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2|z－3－3i|－|z|＝0，試求|z|的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)由已知條件得，即x＋2y＝3，∴，即得的最小值為． 　　(2)解法1:設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，得2|x＋yi－3－3i|－|x＋yi|＝0，＝0，化簡(jiǎn)得－8(x＋y)＋24＝0．∵x＋y≤，故得＋24≤0，即＋24≤0．解得 　　解法2:設(shè)z＝r(cosθ＋isinθ)，代入已知條件并化簡(jiǎn)得＝0，化簡(jiǎn)得－8r(cosθ＋sinθ)＋24＝0，＋24＝0．∴≤1，∴ 　　解法3:將解法1中的方程－8(x＋y)＋24＝0，化為．可知它表示以點(diǎn)(4，4)為圓心，為半徑的圓，∴|z|的最大值和最小值分別是圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值和最小值．∴ 　　解法4:由已知得|z－(3＋3i)|＝，用三角不等式可解得

提示：

注 本題的四種解法從不同的側(cè)面反映了求復(fù)數(shù)模的極值的常用方法：不等式法、三角法、幾何法、公式法，它們的共同之處是把復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)解．