Question

已知

a

=（p，cosx），

b

=（sinx，3），凼數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若凼數(shù)g（x）=f（x）-q（q為常數(shù)）相鄰兩個零點的橫坐標分別為x₁=

π

12

，x₂=

7π

12

，則求q的值以及凼數(shù)f（x）在（-

π

2

，

2π

3

）上的值域；
（2）在（1）的條件下，在△ABC中，滿足f（B）=6，且AC=1，

AM

+

CM

=

0

，求|

BM

|的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的坐標表示以及和差化簡公式，可得p，再由兩角和的正弦公式求得f（x），以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得值域；
（2）由特殊角的三角函數(shù)值，可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac的最大值，再由向量的中點表示和向量的模即為模的平方，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）由

a

=（p，cosx），

b

=（sinx，3），
函數(shù)f（x）=

a

•

b

=psinx+3cosx，
g（x）=psinx+3cosx-q，
由題意可得psin

π

12

+3cos

π

12

=q，psin

7π

12

+3cos

7π

12

=q，
兩式相減可得，p=

-3(cos 7π 12 -cos π 12 )

sin 7π 12 -sin π 12

=

6sin π 3 sin π 4

2cos π 3 sin π 4

=3

3

．
q=3

3

sin

π

12

+3cos

π

12

=6sin（

π

12

+

π

6

）=6sin

π

4

=3

2

，
則有f（x）=3

3

sinx+3cosx=6（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=6sin（x+

π

6

），
由x∈（-

π

2

，

2π

3

），x+

π

6

∈（-

π

3

，

5π

6

），
則sin（x+

π

6

）∈（-

3

2

，1]，f（x）∈（-3

3

，6]
則值域為（-3

3

，6]；
（2）f（B）=6sin（B+

π

6

）=6，（0＜B＜π），
則B=

π

3

，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=1，
即a²+c²=1+ac，
由于a²+c²≥2ac，則ac≤1，當且僅當a=c=1取得等號，
由

AM

+

CM

=

0

，則M為AC的中點，
則

BM

=

1

2

（

BA

+

BC

），
|

BM

|²=

1

4

（

BA

2+

BC

2+2

BA

•

BC

）=

1

4

（c²+a²+2accos

π

3

）=

1

4

（1+2ac）≤

3

4

，
即有|

BM

|≤

3

2

．
當△ABC為等邊三角形時，|

BM

|取得最大值，且為

3

2

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示和中點的向量表示，及向量的平方即為模的平方，考查和差化積公式和兩角和差的正弦公式，考查余弦定理和基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．