Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，．
⑴求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；      ⑵證明：
⑶設(shè)，且，證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

：⑴由，得令，有
∴ ＝＝
又b₁＝2a₁＝2，                                                                                                           
∴∴                                                                           
⑵證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)
1°，當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝1，滿足不等式                                                                       
2°，假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立
即，那么
即     又
由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                                               
⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)
∵，，∴
∵ ∵
∴ ∴當(dāng)n＝1時(shí)，，綜上
⑵證法3：  
∴{a_n}為遞減數(shù)列  當(dāng)n＝1時(shí)，a_n取最大值　　∴a_n≤1
由⑴中知　　  
綜上可知
⑶欲證：即證                               
即ln(1＋T_n)－T_n＜0，構(gòu)造函數(shù)f (x)＝ln(1＋x)－x
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f ' (x)＜0
∴函數(shù)y＝f (x)在(0，＋∞)內(nèi)遞減∴f (x)在[0，＋∞)內(nèi)的最大值為f (0)＝0
∴當(dāng)x≥0時(shí)，ln(1＋x)－x≤0又∵T_n＞0，∴l(xiāng)n(1＋T_n)－T_n＜0∴不等式成立