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若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且對一切x，y＞0，滿足f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2．
分析：（Ⅰ）在f（
x
y
）=f（x）-f（y）中，令x=y=1，能求出f（1）．
（Ⅱ）由f（6）=1，知f（x+3）-f（
1
3
）＜2=f（6）+f（6），故f（
x+3
2
）＜f（6），再由f（x）是（0，+∞）上的增函數，能求出不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2的解集．
解答：解：（Ⅰ）在f（
x
y
）=f（x）-f（y）中，
令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0．
（Ⅱ）∵f（6）=1，
∴f（x+3）-f（
1
3
）＜2=f（6）+f（6），
∴f（3x+9）-f（6）＜f（6），
即：f（
x+3
2
）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數，
∴
x+3
2
＞0
x+3
2
＜6
．解得-3＜x＜9．
故不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2的解集為（-3，9）．
點評：本題考查抽象函數的函數值的解法，考查不等式的解法．解題時要認真審題，注意抽象函數的性質的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數，若對?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數．
（1）試證明對?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數；
（2）若f（x）是定義在實數集R上的、周期為T=2的平緩函數，試證明對?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

14、下列命題中：
①若函數f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數；
②若f（x）是定義域為R的奇函數，對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③已知x1，x2是函數f（x）定義域內的兩個值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），則f（x）是減函數；
④若f （x）是定義在R上的奇函數，且f （x+2）也為奇函數，則f （x）是以4為周期的周期函數．
其中正確的命題序號是
①④
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知下列命題四個命題：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0）上是增函數，θ∈(
π
4
，
π
2
)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要條件；
③設函數f（x）=x2+2（-2≤x＜0），其反函數為f-1（x），則f-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，則A=
π
3
．
其中真命題的個數有（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

若f（x）是定義在[0，+∞）上的增函數，則不等式f(2x-1)＜f(
13
)的解集為
 
．

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