過點P(2,1)作直線l分別交x,y正半軸于A,B兩點.

(1)當△AOB面積最小時,求直線l的方程;

(2)當|PA|·|PB|取最小值時,求直線l的方程.

答案:
解析:

解(1)設(shè)所求的直線方程為=1(a>0,b>0),由已知=1.

于是,當且僅當,即a=4,b=2時,取最大值,即取最小值4.所求的直線l的方程為=1即x+2y-4=0.

  (2)解法1 設(shè)直線l:y-1=k(x-2),分別令y=0,x=0,得A(,0),B(0,1-2k).

  則|PA|·|PB|=≥4,當且僅當=1,即k=±1時,|PA|·|PB|取最小值,又∵k<0,∴k=-1,這時l的方程為x+y-3=0.

  解法2設(shè)直線l的方程為(<α<180°,α為常量,t為參數(shù)),代入方程xy=0中,整理得sinα·cosα·+(2sinα+cosα)t+2=0.

  由t的幾何意義知,|PA|·|PB|=||=≥4.

  當且僅當sin2α=-1即α=時,|PA|·|PB|取最小值.∴l的方程為y-2=tanα(x-1)即x+y-3=0.

  解法3如圖,設(shè)∠PAO=θ,則|PA|=,|PB|=.∴|PA|·|PB|=(0<θ<)(余同解法2).


練習冊系列答案
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如圖梯形ABCD,AD∥BC,∠A=90°,過點C作CE∥AB,AD=2BC,AB=BC,,現(xiàn)將梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB.
(1)求直線BD與平面ABCE所成角的正切值;
(2)設(shè)線段AB的中點為P,在直線DE上是否存在一點M,使得PM∥面BCD?若存在,請指出點M的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由;

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(2012•淮南二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點,且橢C的離心e=
1
2
,又A,B為橢圓的左右頂點,M為橢圓上任一點(異于A,B).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直MA交直x=4于點P,過P作直線MB的垂線x軸于點Q,Q的坐標;
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