已知函數(shù)f（x）=x•sinx，有下列三個結論：
①存在常數(shù)T＞0，對任意的實數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
②對任意給定的正數(shù)M，都存在實數(shù)x0，使得|f（x0）|≥M；
③直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象相切，且切點有無數(shù)多個．
則所有正確結論的序號是（　�。�
A、①B、②C、③D、②③
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析：①研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對立面的形式說明其不成立；
②利用|sinx0|≤1，可得對任意給定的正數(shù)M，都存在實數(shù)x0，使得|f（x0）|≥M，故正確；
③由于f′（x）=sinx+xcosx，直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象相切，則sinx+xcosx=1，x=
π
2
是它的一個解，根據(jù)周期性，可得切點有無數(shù)多個．
解答： 解：①當x=2kπ+
π
2
時，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會是周期函數(shù)，故錯誤；
②∵|sinx0|≤1，∴對任意給定的正數(shù)M，都存在實數(shù)x0，使得|f（x0）|≥M，故正確；
③由于f′（x）=sinx+xcosx，直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象相切，則sinx+xcosx=1，x=
π
2
是它的一個解，根據(jù)周期性，可得切點有無數(shù)多個，故正確．
故選：D．
點評：本題考查導數(shù)的綜合運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

時間過了2h，分針轉過
 
弧度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
cos2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求f（
π
6
）的值；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-
π
3
，
π
3
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

斜率為k（k≠0）的兩條直線分別切函數(shù)f（x）=x3+（t-1）x2-1的圖象于A、B兩點，若直線AB的方程為y=2x-1，則t+k的值為（　　）
A、8B、7C、6D、5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點為A，P（
4
3
，
b
3
）是C上的一點，以AP為直徑的圓經過橢圓C的右焦點F
（1）求橢圓C的方程；
（2）動直線l與橢圓C有且只有一個公共點，問：在x軸上是否存在兩個定點，它們到直線l的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

由定積分的性質和幾何意義，說明下列各式的值：
（1）
∫
a
-a
a2-x2
dx；                   
（2）
∫
1
0
[
1-(x-1)2
-x]dx．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos
ωx+φ
2
（sin
ωx+φ
2
+cos
ωx+φ
2
 ）-1（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）的圖象上的兩條相鄰對稱軸的距離是
π
2
．
（Ⅰ）求φ，ω的值；
（2）令g（x）=f（
π
6
-x），求函數(shù)g（x）在[0，
π
2
]是的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x2+ax在（
1
2
，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=x2-2x-3，x∈[0，b]的值域．

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