Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=-1時，f（x）=lnx-x²的定義域為（0，+∞），再求導f′（x）=

1

x

-2x=

1-2x2

x

，從而求極值；
（2）化簡F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，求導F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；從而化使F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)為F′（x）≥0在定義域（0，+∞）上恒成立；從而化為a≥-

1-lnx

x2

在定義域（0，+∞）上恒成立；令g（x）=-

1-lnx

x2

，則g′（x）=-

2lnx-3

x3

，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=lnx-x²的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-2x=

1-2x2

x

，
故函數(shù)f（x）在（0，

2

2

）上單調(diào)遞增，在（

2

2

，+∞）上單調(diào)遞減；
故x=

2

2

時，函數(shù)f（x）取得極大值f（

2

2

）=-

1

2

ln2-

1

2

；
（2）F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，
F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；
故使F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)可化為
F′（x）≥0在定義域（0，+∞）上恒成立；
即1-lnx+ax²≥0在定義域（0，+∞）上恒成立；
即a≥-

1-lnx

x2

在定義域（0，+∞）上恒成立；
令g（x）=-

1-lnx

x2

，則g′（x）=-

2lnx-3

x3

；
故x∈（0，e

3

2

）時，g′（x）＞0，當x∈（e

3

2

，+∞）時，g′（x）＜0；
故g（x）=-

1-lnx

x2

在（0，e

3

2

）上是增函數(shù)，在（e

3

2

，+∞）上是減函數(shù)，
故g_max（x）=g（e

3

2

）=

1

2e3

；
故a≥

1

2e3

．
故a的取值范圍為[

1

2e3

，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．