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有對稱中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線. 過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,（為研究方便,不妨設直徑所在直線的斜率存在）.

定理：過圓上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值－1．

    （Ⅰ）寫出該定理在橢圓中的推廣,并加以證明；

     （Ⅱ）寫出該定理在雙曲線中的推廣；你能從上述結論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結論嗎？請寫出你的結論.

解：（Ⅰ）設直徑的兩個端點分別為A、B,由橢圓的對稱性可得,A、B關于中心O（0,0）對稱,所以A、B點的坐標分別為A（,B（.

P（上橢圓上任意一點,顯然,

因為A、B、P三點都在橢圓上,所以有

, ①

,  ②.

而,

由①－②得：.

所以該定理在橢圓中的推廣為：過橢圓上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值.

   （Ⅱ）在雙曲線中的推廣為：過雙曲線上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值

       該定理在有心圓錐曲線中的推廣應為：過有心圓錐曲線上異于 直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值－

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線．過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑（為研究方便，不妨設直徑所在直線的斜率存在）．
定理：過圓x2+y2=r2（r＞0）上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條直線的斜率之積為定值-1．寫出該定理在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中的推廣（不必證明）：
過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線的斜率之積為定值-
b2
a2
過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線的斜率之積為定值-
b2
a2

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑．定理：如果圓x2+y2=r2（r＞0）上異于一條直徑兩個端點的任意一點與這條直徑兩個端點連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1．寫出該定理在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)中的推廣
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)上異于一條直徑兩個端點的任意一點，與這條直徑兩個端點的連線的斜率乘積等于
b2
a2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)上異于一條直徑兩個端點的任意一點，與這條直徑兩個端點的連線的斜率乘積等于
b2
a2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑．定理：如果圓x2+y2=r2（r＞0）上異于一條直徑兩個端點的任意一點與這條直徑兩個端點連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1．寫出該定理在有心曲線
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)中的推廣
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)上異于一條直徑兩個端點的任意一點，與這條直徑兩個端點的連線斜率乘積等于-
n
m
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)上異于一條直徑兩個端點的任意一點，與這條直徑兩個端點的連線斜率乘積等于-
n
m
．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年黑龍江省哈爾濱市高三第三次模擬理科數學試題 題型：填空題

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑。定理：如果圓上異于一條直徑兩個端點的任意一點與這條直徑兩個端點連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1。寫出該定理在有心曲線中的推廣            。

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑。定理：如果圓上異于一條直徑兩個端點的任意一點與這條直徑兩個端點連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1。寫出該定理在有心曲線中的推廣

                。

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