Question

（本題滿(mǎn)分12分）設(shè)二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集有且只有一個(gè)元素.

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，求數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1） （2）數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)能組成等

比數(shù)列

【解析】

試題分析：第（1）問(wèn)由不等式的解集有且只有一個(gè)元素，得到，然后由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由求通項(xiàng)時(shí)注意檢驗(yàn)初始項(xiàng)是否滿(mǎn)足；第（2）問(wèn)判斷數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列，基本方法是先假設(shè)它們成等比數(shù)列，再證明問(wèn)題是否有解．

試題解析：（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集有且只有一個(gè)元素，

所以二次函數(shù)（）的圖象與軸相切，

則，考慮到，所以．

從而，

所以數(shù)列的前項(xiàng)和（）．

于是當(dāng)，時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，不適合上式．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）．

假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（正整數(shù)，，互不相等）成等比數(shù)列，則，

即，整理得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070613292347590604_DA/SYS201507070613292347590604_DA.028.png">，，都是正整數(shù)，所以，

于是，即，從而與矛盾．

故數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列．

考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列性質(zhì)．