在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-4，0），B（0，-2），半徑為r的圓M的圓心M在線段AB的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為
3
r．
（1）若r為正常數(shù)，求圓M的方程；
（2）當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與圓相切？如果存在求出定直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）設(shè)圓心M（a，b），利用圓心在直線AB的垂直平分線上，從而|MA|=|MB|，再結(jié)合圓心在y軸右側(cè)（即a＞0），圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為
3
r，列方程組解之即可；
（2）依題意，可設(shè)直線l：y=kx+b與圓M相切，利用圓心到直線l的距離等于半徑求得m，判斷即可．
解答：解：（1）設(shè)圓心M（a，b），由題意可知
(
3
2
r)2+a2=r2
a＞0
(a+4)2+b2=a2+(b+2)2
，解得
a=
1
2
r
b=r+3
，
所以圓M的方程為(x-
1
2
r)2+（y-r-3）2=r2；
（2）
設(shè)直線l：y=kx+b，
則
|k×
r
2
-r-3+b|
1+k2
=r對(duì)任意r＞0恒成立，
由|（
k
2
-1）r+b-3|=r
1+k2
得：
(
k
2
-1)2+（k-2）（b-3）r+（b-3）2=（1+k2）r2，
∴
(
k
2
-1)2=1+k2
(k-2)(b-3)=0
(b-3)2=0
，
解得
k=0
b=3
或
k=-
4
3
b=3
．
∴存在兩條直線y=3和4x+3y-9=0與動(dòng)圓M均相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查理解題意與解方程組的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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