設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1和x軸正方向的交點為A，和y軸的正方向的交點為B，P為第一象限內橢圓上的點，使四邊形OAPB面積最大（O為原點），那么四邊形OAPB面積最大值為（　　）
A、
2
ab
B、
2
2
ab
C、
1
2
ab
D、2ab
分析：利用三角函數(shù)來解答這道題，橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1 上 里面的自變量x，y可以表示為 x=acosa y=bsina，本題中要求第一象限，這樣就應該有0＜a＜π，設P為（acosa，bsina）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，計算兩個三角形的面積并借助于三角公式即可求出OAPB面積的最大值．
解答：解：由于點P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1和上的在第一象限內的點，
 設P為（acosa，bsina）即x=acosa y=bsina （0＜a＜π），
這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，
對于三角形OAP有面積S1=
1
2
absinα，對于三角形OBP有面積S2=
1
2
abcosα
∴四邊形的面積S=S1+S2=
1
2
ab（sinα+cosα）
=
2
2
absin（a+
π
4
）
其最大值就應該為
2
2
ab，
并且當且僅當a=
π
4
時成立．所以，面積最大值
2
2
ab．
故選B．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解答的關鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設出橢圓上一點的坐標，利用三角函數(shù)的有界性求最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，C，原點O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）證明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設圓x2+y2=t2上任意點M（x0，y0）處的切線交橢圓于Q1，Q2兩點，則OQ1⊥OQ2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的動點Q，過動點Q作橢圓的切線l，過右焦點作l的垂線，垂足為P，則點P的軌跡方程為（　　）
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a＞1)短軸的一個端點，Q為橢圓上一個動點，求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，右焦點為F（c，0），方程ax2+bx-c=0的兩個實根分別為x1和x2，則點P（x1，x2）（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設-1＜a＜-
1
2
，則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的離心率的取值范圍是（　�。�

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