Question

在三棱拄中，側(cè)面，已知，，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）試在棱(不包含端點(diǎn))上確定一點(diǎn)的位置，使得；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                    

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）欲證線(xiàn)面垂直，先考察線(xiàn)線(xiàn)垂直，易證，可試證，由題目給條件易想到利用勾股定理逆定理；（Ⅱ）要想在棱找到點(diǎn)，使得，易知，那么這時(shí)就需要使，這時(shí)就轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面幾何問(wèn)題：以矩形的邊為直徑作圓，與的公共點(diǎn)即為所求，易知只有一點(diǎn)即的中點(diǎn) ，將以上分析寫(xiě)成綜合法即可，找到這一點(diǎn)后，也可用別的方法證明，如勾股定理逆定理；（Ⅲ）求直線(xiàn)與平面所成的角，根據(jù)其定義，應(yīng)作出這條直線(xiàn)在平面中的射影，再求這條直線(xiàn)與其射影的夾角（三角函數(shù)值），本題可考慮點(diǎn)在平面的射影，易知平面與側(cè)面垂直，所以點(diǎn)在平面的射影必在兩平面的交線(xiàn)上，過(guò)做的垂線(xiàn)交于，則為所求的直線(xiàn)與平面的夾角.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022353331443.png" style="vertical-align:middle;" />，，，所以，
，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022353299409.png" style="vertical-align:middle;" />側(cè)面，平面，所以，又，
所以，平面                               4分
（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接 ，，，等邊中，
同理，， ，所以，可得，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022353299409.png" style="vertical-align:middle;" />側(cè)面，平面，所以，且，
所以平面，所以；                                  8分
（Ⅲ）側(cè)面，平面，得平面平面，
過(guò)做的垂線(xiàn)交于，平面
連接，則為所求，
因?yàn)? ，，所以 ，為的中點(diǎn) 得為的中點(diǎn)，
 ， 由（2）知 ，所以                  13分