已知圓C的圓心在直線y=x+1上,且過點A(1,3),與直線x+2y-7=0相切.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線l:ax-y-2=0(a>0)與圓C相交于A、B兩點,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)在(Ⅱ)的條件下,是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點P(-2,4),若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(t,t+1),半徑為r,則圓的方程可得,根據(jù)題意把點A代入圓方程,利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離等于半徑聯(lián)立方程求得t和r,則圓的方程可求得.
(2)把直線方程代入圓的方程,消去y整理利用判別式大于0求得a的范圍.
(3)設(shè)符合條件的實數(shù)a存在,由于a≠0,則直線l的斜率為-
1
a
,則l的方程可得,把圓心代入求得a,根據(jù)(2)中的范圍可知a不符合題意,進而可判斷出不存在實數(shù)a,使得過點P(-2,4)的直線l垂直平分弦AB.
解答:解:(1)解:設(shè)圓心坐標(biāo)為(t,t+1),半徑為r,則圓的方程為(x-t)2+(y-t-1)2=r2
依題意可知
(1-t)2+(2-t) 2=r2
|t+2t+2|-7
5
=r
求得t=0,r=
5

∴圓的方程為x2+(y-1)2=5;

(2)把直線ax-y-2=0即y=ax-2代入圓的方程,消去y整理,得
(a2+1)x2-6ax+4=0.由于直線ax-y+5=0交圓于A,B兩點,
故△=36a2-16(a2+1)>0.即5a2-4>0,由于a>0,解得a>
2
5
5

所以實數(shù)a的取值范圍是(
2
5
5
,+∞).

(3)設(shè)符合條件的實數(shù)a存在,由于a≠0,則直線l的斜率為-
1
a

l的方程為y=-
1
a
(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.
由于l垂直平分弦AB,故圓心M(0,1)必在l上.
所以0+a+2-4a=0,解得a=
2
3

由于
2
3
∉(
2
5
5
,+∞)
,
故不存在實數(shù)a,使得過點P(-2,4)的直線l垂直平分弦AB.
點評:本題主要考查了直線與的方程的綜合運用.考查了考生綜合分析問題和解決問題的能力.
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7
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6
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