已知圓M：（x+
5
）2+y2=36，定點N（
5
，0），點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求點G的軌跡C的方程；
（II）點F（x，y）在軌跡C上，求2x2+y的最大值與最小值．
分析：（I）由
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0，知Q為PN的中點且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線，∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，從而可求方程；（Ⅱ）易知-2≤y≤2，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．
解答：解：（Ⅰ）由
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0，知Q為PN的中點且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線，∴|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長a=3，半焦距c=
5
，∴短半軸長b=2，
∴點G的軌跡方程是
x2
9
+
y2
4
=1
（Ⅱ）易知-2≤y≤2，當y=
1
9
時，2x2+y有最大值18
1
18
，當y=-2時，2x2+y有最小值為-2
點評：本題主要考查橢圓的定義，解題的關鍵是將問題等價轉(zhuǎn)化為符合橢圓的定義，（Ⅱ）的關鍵是從轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）已知圓M：（x+
5
）2+y2=36，定點N（
5
，0），點P為圓M上的動點，點G在MP上，且滿足|GP|=|GN|
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓M：（x-1）2+（y-1）2=4，直線l：x+y-6=0，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B，C使得：∠BAC=60°，則點A的橫坐標x0的取值范圍是
[1，5]
[1，5]
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓M：（x+
5
）2+y2=36，定點N（
5
，0），點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求點G的軌跡C的方程；
（II）點F（x，y）在軌跡C上，求2x2+y的最大值與最小值．

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