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已知F1、F2為橢圓的焦點,P為橢圓上的任意一點,橢圓的離心率為.以P為圓心PF2長為半徑作圓P,當圓P與x軸相切時,截y軸所得弦長為
(1)求圓P方程和橢圓方程;
(2)求證:無論點P在橢圓上如何運動,一定存在一個定圓與圓P相切,試求出這個定圓方程.

【答案】分析:(1)根據離心率求得a和c的關系,進而求得b和c的關系,設出橢圓的標準方程,根據圓P與x軸相切時,PF2⊥x軸,求得P的坐標和圓的半徑,進而根據弦長公式求得c,則橢圓的方程可得.
(2)以F1為圓心,作圓M,使得圓P內切于圓M,公切點設為Q,則可推斷出點F1、P、Q在一直線上,進而可知F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2,求得a,進而可推斷出存在圓M:(x+2)2+y2=36滿足題設要求.
解答:解:(1)∵,∴a=3c,b=,
橢圓方程設為
當圓P與x軸相切時,PF2⊥x軸,故求得P(c,),圓半徑r=,
得c=2,
∴橢圓方程為,
此時圓P方程為
(2)以F1為圓心,作圓M,使得圓P內切于圓M,公切點設為Q,
則點F1、P、Q在一直線上,
從而F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=12,
∴存在圓M:(x+2)2+y2=144滿足題設要求.
點評:本題主要考查了橢圓的應用,橢圓與圓的位置關系等.考查了分析問題和解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知F1,F2為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個焦點,過F2作橢圓的弦AB,若△AF1B的周長為16,橢圓的離心率e=
3
2
,則橢圓的方程為( 。
A、
x2
4
+
y2
3
=1
B、
x2
16
+
y2
3
=1
C、
x2
16
+
y2
4
=1
D、
x2
16
+
y2
12
=1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知F1,F2為橢圓E的兩個左右焦點,拋物線C以F1為頂點,F2為焦點,設P為橢圓與拋物線的一個交點,如果橢圓離心率e滿足|PF1|=e|PF2|,則e的值為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知F1、F2為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的兩個焦點,點P是橢圓上的一個動點,則|PF1|•|PF2|的最小值是
9
9

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知F1、F2為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點,B為橢圓短軸的一個端點,
BF1
BF2
1
2
F1F2
2
則橢圓的離心率的取值范圍是
(0,
1
2
]
(0,
1
2
]

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•荊州模擬)已知F1、F2為橢圓C:
x2
m+1
+
y2
m
=1的兩個焦點,P為橢圓上的動點,則△F1PF2面積的最大值為2,則橢圓的離心率e為(  )

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