Question

已知A

5 n

=56C

7 n

，且（2x+1）ⁿ=a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）+a₃（x+3）³+…+a_n（x+3）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求n的值；
（2）求2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2ⁿ⁺¹a_n的值．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（1）由

A

5 n

=56

C

7 n

可得（n-5）（n-6）=90，由此求得得n的值．
（2）在所給的等式中，令x=-1，可得a0+2a1+22a2+…+2nan=a0+2a1+22a2+…+215a15=-1，而要求的式子即 2（2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2¹⁶a₁₅），計算可得結(jié)果．

解答： 解：（1）由

A

5 n

=56

C

7 n

 可得（n-5）（n-6）=90，
解得n=15，或n=-4（舍去）．
（2）在（2x+1）¹⁵ =a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）+a₃（x+3）³+…+a_n（x+3）¹⁵ 中，
令x=-1，可得a0+2a1+22a2+…+2nan=a0+2a1+22a2+…+215a15=-1，
故 2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2ⁿ⁺¹a_n =2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2¹⁶a₁₅ =2（2a₀+2²a₁+2³a₃+…+2¹⁶a₁₅）=-2．

點評：本題主要考查排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式，二項式定理的應(yīng)用，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于基題．