Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點，
（1）求證：A₁C∥平面BDE；
（2）求三棱錐E-BCD的體積；
（3）求點E到點C₁的距離|EC₁|．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）確定EF∥A₁C，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可以判斷A₁C∥平面BDE
（2）根據(jù)條件公式求解，（3）運用距離公式求解．

解答： （1）證明：連接AC交BD于點F，連接EF
由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁知，四邊形ABCD為正方形；
∴F為AC中點，又已知E為AA₁中點，
則EF∥A₁C，又EF⊆平面BDE∴A₁C∥平面BDE
（2）分別以AB，AD，AA₁為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，
得出：E（0，0，1），C₁（2，2，2）
∴|EC1|=

(2-0)2+(2-0)2+(2-1)2

=3

點評：本題考察了空間直線的位置關(guān)系，求解體積距離等問題，屬于中檔題．