Question

17．已知偶函數(shù)f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），當x＜0時有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2017）²f（x+2017）-4f（-2）＜0的解集為．（-2019，-2015）．

Answer 1

分析 通過觀察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左邊像一個函數(shù)的導數(shù)，又直接寫不出來，對該不等式兩邊同乘以x，∵x＜0，∴會得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，而這時不等式的左邊是（x²f（x））′，所以構造函數(shù)F（x）=x²f（x），則能判斷該函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函數(shù)，發(fā)現(xiàn)不等式（x+2017）²f（x+2017）-2f（-2）＜0可以變成F（x+2017）＜F（-2）=F（2），從而|x+2017|＜2，解這個不等式便可．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
則當x＜0時，F(xiàn)'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
∴F（x+2017）=（x+2017）²f（x+2017），F(xiàn)（-2）=4f（-2）；
即不等式等價為F（x+2017）-F（-2）＜0；
∵F（x）在（-∞，0）是減函數(shù)；
偶函數(shù)f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，f（-x）=f（x），
∴F（-x）=F（x），F(xiàn)（x）在（0，+∞）遞增，
∴由F（x+2017）＜F（-2）=F（2）得，|x+2017|＜2，
∴-2019＜x＜-2015，
∴原不等式的解集是（-2019，-2015），
故答案為：（-2019，-2015）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，兩個函數(shù)乘積的導數(shù)的求法，而構造函數(shù)是解本題的關鍵．