Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與圓C₂：x²+y²=b²，若在橢圓C₁上存在點P，使得由點P所作的圓C₂的兩條切線互相垂直，則橢圓C₁的離心率的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1）
• B、[

  2

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C、[

  2

  2

  ，1）
• D、[

  3

  2

  ，1）

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設P（m，n），則由題意知

m2+n2=2b2 m2 a2 + n2 b2 =1

，由此導出e=

1- b2 a2

=

b2 m2

，從而能求出橢圓C₁的離心率的取值范圍．

解答：解：設P（m，n），則由題意知：

m2+n2=2b2 m2 a2 + n2 b2 =1

，
∴b²m²=

m2+n2

2

a2-a2 n2=a2•

m2-n2

2

，
∴

b2

a2

=

m2-n2

2m2

，
∴e=

1- b2 a2

=

2m2-m2+n2 2m2

=

m2+n2 2m2

=

b2 m2

，
∵-a≤m≤a，
∴m=b時，e_max→

2-1

=1，
m=a時，e_min=

1- b2 a2

=

b2 a2

，∴

b2

a2

=

1

2

，
∴e_min=

1- 1 2

=

2

2

．
故選：C．

點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的靈活運用．