Question

如圖，已知雙曲線C：的右準線l₁與一條漸近線l₂交于點M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點．
（I）求證：；
（II）若||=1且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷λ的范圍，并用代數(shù)方法給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可求得點M（），F(xiàn)（c，0），=（，），計算=0即可；
（Ⅱ）由e=，可得a²=2b²，又||=1，可求得雙曲線C的方程為：；
（Ⅲ）設(shè)l₃：y=kx+1，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由聯(lián)立得（1-2k²）x²-4kx+4=0，結(jié)合l₃與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q，列關(guān)系式可求得，再結(jié)合，即可求得λ的取值范圍．
解答：證明：（I）∵右準線，漸近線，
∴，
∵F（c，0），c²=a²+b²，
∴=，，
∵，
∴…（3分）
（II）∵，
∴，
∴a²=2b²，
∵||=1，
∴，
∴
∴雙曲線C的方程為：…（7分）
（III）由題意可得0＜λ＜1…（8分）
證明：設(shè)l₃：y=kx+1，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由得（1-2k²）x²-4kx+4=0∵l₃與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q
∴，
∴…（11分）
∵，
∴（x₁，y₁-1）=λ（x₂，y₂-1），得x₁=λx₂

∵，
∴0＜2k²-1＜1，
∴，
∴（1+λ）²＞4λ，
∴λ²-2λ+1＞0
∴λ的取值范圍是（0，1）…（13分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，難點在于（Ⅲ）λ的范圍的求解，方程思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，屬于較難的題．