Question

（本題滿分12分）
已知動圓過點，且與圓相內(nèi)切．
（1）求動圓的圓心的軌跡方程；
（2）設直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點，D，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）圓，圓心的坐標為，半徑．
∵，∴點在圓內(nèi)．       
設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，
即．                                             
∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為
, 則．∴．
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為．…………………………………4分
（2）由 消去化簡整理得：
設，，則……………………………………6分
△．①
由 消去化簡整理得：．
設，則,
△．② ……………………………………8分
∵，∴，即，
∴．∴或．
解得或……… 10分                                                                  
當時,由①、②得 ，
∵Z,，∴的值為 ，，;
當，由①、②得 ，
∵Z,，∴．
∴滿足條件的直線共有9條．………………………………………………12分

略