【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,頂點(diǎn)A(a,0),B(0,b),中心O到直線AB的距離為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)P滿足: ,其中M,N是橢圓C上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為﹣ ,若Q(λ,μ)為一動(dòng)點(diǎn),E1(﹣ ,0),E2 ,0)為兩定點(diǎn),求|QE1|+|QE2|的值.

【答案】
(1)解:因?yàn)橹本AB的方程為ax+by﹣ab=0.所以 = ,

由已知得 = ,故可解得a=2,b= ;

所以橢圓的方程為


(2)解:設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),

則由 得,x=λx1+2μx2,y=λy1+2μy2

因?yàn)辄c(diǎn)P,M,N在橢圓 上,

所以x12+2y12=4,x22+2y22=4,x2+2y2=4

故x2+2y22(x12+2y12)+4μ2(x22+2y22)+4λμ(x1x2+2y1y2)=4λ2+16μ2+4λμ(x1x2+2y1y2)=4

設(shè)kQM,kQN分別為直線OM,ON的斜率,由題意知,kQMkQN= =﹣

因此x1x2+2y1y2=0,所以λ2+4μ2=1,

λ2+ =1,可知表達(dá)式是橢圓,a=1,b= ,c= ,

而E1,E2恰為橢圓的左右焦點(diǎn),

所以由橢圓的定義,|QF1|+|QF2|=2


【解析】(1)利用離心率為 ,中心O到直線AB的距離為 .列出方程求出a,b,即可求解橢圓方程.(2)設(shè)P(x,y),M(x1 , y1),N(x2 , y2),利用 得,結(jié)合點(diǎn)P,M,N在橢圓上,通過kQMkQN= =﹣ ,得到λ2+4μ2=1,由橢圓的定義,推出|QF1|+|QF2|=2即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

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