Question

已知函數(shù)g（x）=

10x-1

10x+1

，x∈R，函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=g（x）的反函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并寫出定義域D；
（2）（理科）設h（x）=

1

x

-f（x），若函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的圖象是不間斷的光滑曲線，求證：函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)必有唯一的零點（假設為t），且-1＜t＜-

1

2

．
（文科）設函數(shù)h（x）=

1

x

-f（x），試判斷函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性，并說明你的理由．

Answer 1

考點：反函數(shù),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知的等式求得10^x=

1+y

1-y

，然后化指數(shù)式為對數(shù)式，x，y互換后得答案，同時注明函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域；
（2）（理）把h（x）=

1

x

-f（x）求導數(shù)，由導函數(shù)在（-1，0）上恒小于0說明函數(shù)為減函數(shù)，再由函數(shù)零點存在性定理證得答案；
（文）直接利用函數(shù)的導函數(shù)小于0說明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： （1）解：由y=

10x-1

10x+1

，（x∈R），得10^x=

1+y

1-y

，
x=lg

1+y

1-y

，
∴f（x）=lg

1+x

1-x

（-1＜x＜1）；

（2）證明：（理科）h（x）=

1

x

-f（x）=

1

x

-lg

1+x

1-x

，
h′(x)=-

1

x2

-

1-x

1+x

•(

1+x

1-x

)′=-

1

x2

-

1-x

1+x

•

1-x+1-x

(1-x)2

=-

1

x2

-

2

1-x2

=

-1+x2-2x2

x2(1-x2)

=

-1-x2

x2(1-x2)

＜0，
∴h（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，
又當x→-1時，h（x）＞0；h（-

1

2

）=-2-lg

1- 1 2

1+ 1 2

=-2-lg

1

3

=-2+lg3＜0．
∴函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)必有唯一的零點（假設為t），且-1＜t＜-

1

2

；

（文）h（x）=

1

x

-f（x）=

1

x

-lg

1+x

1-x

，
h′(x)=-

1

x2

-

1-x

1+x

•(

1+x

1-x

)′=-

1

x2

-

1-x

1+x

•

1-x+1-x

(1-x)2

=-

1

x2

-

2

1-x2

=

-1+x2-2x2

x2(1-x2)

=

-1-x2

x2(1-x2)

＜0，
∴h（x）在（-1，0）上為減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)零點存在性定理，是中檔題．