Question

19．設(shè)x，y滿足線性約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-3y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，若z=ax-y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有數(shù)多個，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，要使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無數(shù)個，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=ax-y（a＞0）得y=ax-z，
∵a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=a＞0．
平移直線y=ax-z，
由圖象可知當(dāng)直線y=ax-z和直線2x-y+2=0平行時，當(dāng)直線經(jīng)過B時，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值時最優(yōu)解只有一個，不滿足條件．
當(dāng)直線y=ax-z和直線x-3y+1=0平行時，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值時最優(yōu)解有無數(shù)多個，滿足條件．
此時a=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的取值范圍得到目標(biāo)斜率的取值關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，要注意使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．