Question

1．若一個(gè)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則稱這樣的函數(shù)為“雙胞胎”函數(shù)，若函數(shù)f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）為“雙胞胎”函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-$\frac{2}{3}$，0）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|與y=a+3，則只需兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，記g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，得出y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|的最小值1-2a，于是a+3＞1-2a，即可解出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0得|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|=a+3，
∴記g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，
則g'（x）=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$（x＞0），
令h（x）=ax²-x-a+1=0，解得x=1或x=$\frac{1-a}{a}$（舍）．
∵a＜0，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，ax²-x-a+1＞0，g'（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，ax²-x-a+1＜0，g'（x）＜0，g（x）遞減，
∴g（x）的最大值為g（1）=2a-1；
∵a＜0，∴2a-1＜-1，
∴y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|≥1-2a，
∵函數(shù)f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）為“雙胞胎”函數(shù)，即f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴a+3＞1-2a，又a＜0，
解得：-$\frac{2}{3}$＜a＜0．
故答案為：（-$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)的構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值．