Question

10．已知橢圓x²+2y²=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，過橢圓上任意一點P作切線l，記F₁、F₂到l的距離分別為d₁、d₂，則d₁•d₂=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立方程組，令△=0得出k，b的關(guān)系，根據(jù)點到直線的距離公式計算d₁•d₂即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消元的（1+2k²）x²+4kbx+2b²-1=0，
∴△=16k²b²-4（1+2k²）（2b²-1）=0，
∴b²=k²+$\frac{1}{2}$．
∵F₁（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），F(xiàn)₂（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴d₁=$\frac{|b-\frac{\sqrt{2}}{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d₂=$\frac{|b+\frac{\sqrt{2}}{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d₁d₂=$\frac{|\frac{1}{2}{k}^{2}-^{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{|-\frac{1}{2}{k}^{2}-\frac{1}{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故選A．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．