Question

已知動點(diǎn)M到兩個定點(diǎn)F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）的距離之和為10，A、B是動點(diǎn)M軌跡C上的任意兩點(diǎn)．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若原點(diǎn)O滿足條件，點(diǎn)P是C上不與A、B重合的一點(diǎn)，如果PA、PB的斜率都存在，問k_PA•k_PB是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，其中，由此能夠推導(dǎo)出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)A（x，y），B（-x，-y）．設(shè)P（5cosθ，4sinθ），，，．A在橢圓上，，，由此能夠推導(dǎo)出k_PA•k_PB為定值-．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
∵|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|=6，
∴點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，
其中，
故點(diǎn)M的軌跡方程為，
（2）設(shè)A（x，y），當(dāng)時，
必有點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，
∴B（-x，-y）．
設(shè)P（5cosθ，4sinθ），
則，，
∴．
∵A在橢圓上，∴，∴，
∴，
∴k_PA•k_PB為定值-．
點(diǎn)評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出現(xiàn)不必要的錯誤．