Question

12．（1）若函數f（x）=lnx-ax有極值，則函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）；
（2）若函數g（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x有極值，則實數a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的定義域，求出函數f（x）的導函數，由題意得到a＞0，在定義域下令導函數大于0得到函數的遞增區(qū)間；
（2）求出函數的導數，問題轉化為y=lnx和y=ax有交點，通過討論a的范圍，求出滿足條件的a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若函數f（x）=lnx-ax有極值，
則a＞0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{a}$）；
（2）解：f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x的定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax，
若函數f（x）有極值，則f′（x）=lnx-ax有解，
即y=lnx和y=ax有交點，
①a＜0時，顯然有解，
②a＞0時，設y=lnx和y=ax相切的切點是（x₀，lnx₀），
∴切線方程是：y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x，故lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀，
解得：x₀=e，
∴y=lnx和y=ax相切時，a=$\frac{1}{e}$，
若y=lnx和y=ax有交點，
只需a＜$\frac{1}{e}$，
綜上：a＜$\frac{1}{e}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．