Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，已知，且對(duì)一切都成立．
（1）若λ=1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．

Answer 1

(1)；(2)．

試題分析：(1)本題已知條件是，我們要從這個(gè)式子想辦法得出與的簡(jiǎn)單關(guān)系式，變形為，這時(shí)我們聯(lián)想到累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式的題型，因此首先由得
，又，這個(gè)式子可化簡(jiǎn)為，這樣就變成我們熟悉的已知條件，已知解法了；(2)這種類型問題，一種方法是從特殊到一般的方法，可由成等差數(shù)列，求出，然后把代入已知等式，得，，這個(gè)等式比第(1)題難度大點(diǎn)，把化為，有當(dāng)n≥2時(shí)，，整理，得，特別是可變形為，這樣與第(1)處理方法相同，可得，即，從而說(shuō)不得是等差數(shù)列．
試題解析：（1）若λ=1，則，．
又∵，∴，       2分
∴，
化簡(jiǎn)，得．①       4分
∴當(dāng)時(shí)，．②
②-①，得，∴（）．       6分
∵當(dāng)n=1時(shí)，，∴n=1時(shí)上式也成立，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，a_n=2^n-1（）．       8分
（2）令n=1，得．令n=2，得．       10分
要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ=0．       11分
當(dāng)λ=0時(shí)，，且．
當(dāng)n≥2時(shí)，，
整理，得，，       13分
從而，
化簡(jiǎn)，得，所以．      15分
綜上所述，（），
所以λ=0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．       16分與的關(guān)系，等差數(shù)列．