Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）設(shè)點M在線段PC上，

PM

MC

=

1

2

，求證：PA∥平面MQB；
（3）在（2）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）連接BD，利用線面垂直的判定定理，證明AD⊥平面PQB，利用面面垂直的判定定理，即可證明平面PQB⊥平面PAD；
（2）連接AC交BQ于點N，利用比例關(guān)系，證明PA∥MN，利用線面平行的判定定理證明PA∥平面MQB；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MQB的法向量，結(jié)合平面ABCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角M-BQ-C的大�。�

解答： （1）證明：連接BD，則
∵四邊形ABCD菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD為正三角形，
又Q為AD中點，∴AD⊥BQ．
∵PA=PD，Q為AD的中點，
∴AD⊥PQ，
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
∵AD?平面PAD．
∴平面PQB⊥平面PAD．…（4分）
（2）證明：連接AC交BQ于點N，如圖
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB，∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

．
又

PM

MC

=

1

2

，∴

PM

MC

=

AN

NC

=

1

2

，
∴PA∥MN．
∵M(jìn)N?平面MQB，PA?平面MQB，
∴PA∥平面MQB．…（8分）
（3）解：由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，則PQ⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD．
以Q為坐標(biāo)原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為A（1，0，0），B（0，

3

，0），Q（0，0，0），P（0，0，

3

）．
∴

QB

=（0，

3

，0），

PA

=（1，0，-

3

）．
設(shè)平面MQB的法向量

n

=（x，y，1），
∵PA∥MN，∴

3 y=0 x- 3 =0

解得

n

=（

3

，0，1）．
取平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2

．
故二面角M-BQ-C的大小為60°．…（12分）

點評：本題考查面面垂直，線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量法的運(yùn)用，正確運(yùn)用面面垂直，線面平行、垂直的判定定理是關(guān)鍵．