Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+2（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當a=1時，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）當a∈R時，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．
（Ⅲ）若對于任意x∈[2，3]，總有f（x）＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時，x²-3x+2＜0，解得即可，
（Ⅱ）原不等式等價為（ax-2）（x-1）＜0．對a經(jīng)行分類討論，即可求出不等式的解集．
（Ⅲ）對于任意x∈[2，3]，總有f（x）＞0成立，轉(zhuǎn)化為a（x²-x）-2x+2＞0，在x∈[2，3]上恒成立，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)g（a）=a（x²-x）-2x+2，則g（a）為增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可

解答 解：（Ⅰ）a=1時，x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2，故不等式的解集為（1，2）
（Ⅱ）x的不等式f（x）＜0等價為（ax-2）（x-1）＜0．
（1）當a=0時，原不等式為-（x-1）＜0，解得x＞1．即原不等式的解集為（1，+∞）．
（2）若a＞0，則原不等式可化為（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＜0，
對應(yīng)方程的根為x=1或x=$\frac{2}{a}$．
當$\frac{2}{a}$＞1，即0＜a＜2時，不等式的解為1＜x＜$\frac{2}{a}$．
當a=2時，不等式的解集為空集．
當$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2時，不等式的解為$\frac{2}{a}$＜x＜1．
（3）若a＜0，則原不等式可化為（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＞0，
所以$\frac{2}{a}$＜1，所以不等式的解為x＞1或x＜$\frac{2}{a}$．
綜上：（1）當a=0時，不等式的解集為（1，+∞）．
（2）0＜a＜2時，不等式的解集為（1，$\frac{2}{a}$）．
當a=2時，不等式的解集為空集．
當a＞2時，不等式的解集為（$\frac{2}{a}$，1）．
當a＜0時，不等式的解集為（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞）；
（Ⅲ）對于任意x∈[2，3]，總有f（x）＞0成立，
∴ax²-（a+2）x+2＞0，在x∈[2，3]上恒成立，
∴a（x²-x）-2x+2＞0，在x∈[2，3]上恒成立，
設(shè)g（a）=a（x²-x）-2x+2，則g（a）為增函數(shù)，
∴g（a）_min=a（2²-2）-2×2+2＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$，
故a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了用分類討論法解含有字母系數(shù)的不等式的問題，解題時應(yīng)適當?shù)剡M行分類，求出各種情況的不等式的解集，再綜合在一起，是易錯題．