（2012•江西模擬）已知
i
，
j
是x，y軸正方向的單位向量，設(shè)
a
=x
i
+(y-1)
j
，
b
=x
i
+(y+1)
j
，且滿足|
a
|+|
b
|=2
2
．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點F（0，1），點A、B、C、D在曲線C上，若
AF
與
FB
共線，
CF
與
FD
共線，且
AF
•
CF
=0，求四邊形ACBD的面積的最小值和最大值．
分析：（1）條件|
a
|+|
b
|=2
2
可以看成是動點到兩定點的距離之和為2
2
，聯(lián)想橢圓的定義解決“點P（x，y）的軌跡C”；
（2）設(shè)出AB的方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可表示出四邊形ACBD的面積，再將四邊形ACBD的面積取到最值問題，要先建立關(guān)于某個自變量的函數(shù)，后再求此函數(shù)的最值即可．
解答：解：（1）∵|a|+|b|=2
2
，
∴
x2+(y-1)2
+
x2+(y+1)2
=2
2

由橢圓的定義可知，動點P（x，y）的軌跡方程x2+
y2
2
=1．
（2）直線AB，CD中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)AB的斜率為k，
故AB的方程為y=kx+1，將此式子代入橢圓方程得（2+k2）x2+2kx-1=0，
設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），
則x1=
-k-
2k2+2
2+k2
，x2=
-k+
2k2+2
2+k2
，
從而|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
8(1+k2)2
(2+k2)2
，即|AB|=
2
2
(1+k2)
2+k2

①當k≠0時，CD的斜率為-
1
k
，同上可得|CD|=
2
2
(1+(-
1
k
)2)
2+(-
1
k
)2
，
故四邊形ABCD面積為：
S=
4(2+k2+
1
k2
)
5+2k2+
2
k2
，令u=k2+
1
k2
≥2，得S=
4(2+u)
5+u
=2(1-
1
5+2u
)，
∴
16
9
≤S＜2．
②當k=0時，易得S=2．
故四邊形ABCD面積的最小值和最大值分別為
16
9
和2．
點評：（1）平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算，或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題．（2）直線l與點P的軌跡的交點問題，組成方程組解決．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，面SAB⊥面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）在△ABC中，P是BC邊中點，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若c
AC
+a
PA
+b
PB
=
0
，則△ABC的形狀為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）已知數(shù)列{an}是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn 為其前n項和，且滿足an2=S2n-1，n∈N*．數(shù)列{bn}滿足bn=
1anan+1
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式和Tn；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn，成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1，x∈R，將函數(shù)f（x）向左平移
π
6
個單位后得函數(shù)g（x），設(shè)△ABC三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（Ⅰ）若c=
7
，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且
m
=(cosA，cosB)，
n
=(1，sinA-cosAtanB)，求
m
•
n
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸進線的交點分別為B、C．若
AB
=
1
2
BC
，則雙曲線的離心率是
5
5
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案