設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，（是實數(shù)）。

（1）當(dāng)時，求f(x)的解析式；

（2）若函數(shù)f(x)在（0,1]上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，f(x)有最大值1.

 

【答案】

（1）

（2）

（3）存在使得當(dāng)時，f(x)有最大值1

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)的最值的綜合運用。

（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時的解析式，利用偶函數(shù)的的對稱性得到結(jié)論。

（2）因為給定區(qū)間單調(diào)遞增，即當(dāng)時，

所以因為f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，所以

（3）對于參數(shù)a進(jìn)行分類討論得到最值。

解：（1）設(shè)則   ---------1分

所以 -------2分

因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)    ----------3分

所以   ---------4分

（2）當(dāng)時，

所以

因為f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，所以  -------------6分

所以a的取值范圍是   ---------7分

（3）(i)當(dāng)時，由（2）知f（x）在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù)

所以不合題意，舍去

（ii）當(dāng)時，在區(qū)間（0,1]上，

令   -------------8分

由下表

＋

0

－

增

極大值

減

f(x)在處取得最大值 ----------9分

  -------------10分

所以   --------11分

注意到，所以符合題意 --------12分

(iii)當(dāng)時，在區(qū)間（0,1]上，，

所以f(x)為減函數(shù)，無最大值  --------13分

綜上所述，存在使得當(dāng)時，f(x)有最大值1、

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，設(shè)g(x)=
f(x)+f(-x)
2
，h(x)=
f(x)-f(-x)
2

①試判斷g（x）與h（x）的奇偶性；
②試判斷g（x），h（x）與f（x）的關(guān)系；
③由此你能猜想得出什么樣的結(jié)論，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）和g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，x1、x2是R上任意兩個不等的實根，設(shè)|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且y=f（x）為奇函數(shù)，判斷函數(shù)y=g（x）的奇偶性并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：《第1章 集合與函數(shù)概念》2010年單元測試卷2（大綱版）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，設(shè)，
①試判斷g（x）與h（x）的奇偶性；
②試判斷g（x），h（x）與f（x）的關(guān)系；
③由此你能猜想得出什么樣的結(jié)論，并說明理由．

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設(shè)是定義在R上的兩個函數(shù)，是R上任意兩個不等的實根，設(shè)

恒成立，且為奇函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由。

 

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