【題目】已知函數(shù)

(I)若,判斷上的單調性;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最小值;

(III)當時,是否存在正整數(shù)n,使恒成立?若存在,求出n的最大值;若不存在,說明理由.

【答案】(I)見解析;(Ⅱ)見解析; (III)見解析

【解析】

I)根據(jù)f′(x)的符號得出結論;

II)討論a的范圍,得出fx)在[1,e]上單調性,根據(jù)單調性得出最小值;

III)化簡不等式可得n+xlnx,根據(jù)兩側函數(shù)的單調性得出兩函數(shù)在極值點處的函數(shù)值的大小,從而得出n的范圍.

(Ⅰ)當時,

由于,故,

單調遞增.

(Ⅱ)

時,上單調遞增,

,

時,由解得(負值舍去)

,即,也就是時,單調遞增,

,

,即

單調遞減,

單調遞增.

單調遞減

,

綜上所述:當時,的最小值為1;

時,的最小值為

時,的最小值為.

(Ⅲ)當時,不等式為

恒成立

由于,故成立,,又

所以n只可能為1或2.

下證時不等式恒成立

事實上,設

,

又設單調遞增

所以當時,單調遞減,

時,單調遞增,

時,,對恒成立,

所以存在正整數(shù)n,且n的最大值為2,滿足題意.

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