【題目】已知函數(shù)

1)若函數(shù)上存在單調增區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍;

2)若,證明:對于,總有

【答案】(1);(2)詳見解析.

【解析】

1)求出的導數(shù),將其轉化為在區(qū)間內存在區(qū)間使得即上能成立,根據(jù)函數(shù)的最小值即可確定的范圍;(2)問題轉化為證明,在上恒成立,構造函數(shù),,求出的導數(shù),判斷出函數(shù)的單調性,從而證出結論.

1)由題,

因為函數(shù)存在單調增區(qū)間,

故在區(qū)間內存在區(qū)間使得成立,

能成立,

上能成立,

的最小值是,

;

2)若,則,

,

又因為,所以,

要證原不等式成立,只要證

只要證,

只要證,在上恒成立,

首先構造函數(shù),

因為,

可得,在時,,即上是減函數(shù),

時, ,即上是增函數(shù),

所以,在上,,所以,

所以,,等號成立當且僅當時,

其次構造函數(shù),

因為,

可見時,,即上是減函數(shù),

時, ,即上是增函數(shù),

所以在上,,所以,

所以,,等號成立當且僅當時.

綜上所述,

因為取等條件并不一致,

所以,在上恒成立,

所以,總有成立.

練習冊系列答案
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2

3

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5

(產量)

4

5

4

6

6

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