Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意的正整數(shù)n，

3

2

k≤Sn恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）；可得3a_n+2s_n-1=3（n≥2）；作差得a_n+1與a_n的關(guān)系，從而求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，由

3

2

k≤Sn恒成立，得k的取值范圍；從而求出k的最大值．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）①；
∴3a_n+2s_n-1=3（n≥2）②；
①-②得3a_n+1-3a_n+2a_n=0（n≥2），
∴a_n+1=

1

3

a_n（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公比q=

1

3

的等比數(shù)列，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=a₁q^n-1=(

1

3

)n-1（n為正整數(shù)）；
（2）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

[1-(

1

3

)n]，
且

3

2

k≤Sn恒成立，∴k≤1-(

1

3

)n；
又?jǐn)?shù)列{1-(

1

3

)n}是單調(diào)遞增的，當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為

2

3

，∴k≤

2

3

；
∴實(shí)數(shù)k的最大值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和問題，是中檔題目．