分析:對于描述①,將a=2及
x=代入f(x)=af(x-1)中,再利用x∈[0,1]時的函數(shù)關(guān)系式,可得
f()的值;
對于描述②,分“-1<a<0”,“a=0”,“0<a<1”三種情況,觀察f(x)圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn),可得函數(shù)的值域;
對于描述③,利用賦值法,可嘗試給定a一個較大的值代入,即可否定;
對于描述④,先考慮n=1,2,3,4時的情形,由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:解:由題意知,
f(x)=.
在描述①中,由x>1,將a=2及
x=代入f(x)=af(x-1)中,
得
f()=2f(-1)=2f()=
2(2-4|-|)=4,可知描述①正確.
在描述②中,
(1)若0<a<1,當(dāng)0≤x≤1時,
f(x)=,其圖象是一條折線段,
當(dāng)x>1時,則f(x)的圖象向右依次平移一個單位長度,
且每條折線段的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到x軸的距離是上一條折線段的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到x軸距離的a倍,
由
f()=2知,0≤f(x)≤2.其圖象如圖1所示.
(2)若a=0,則
f(x)=,此時亦有0≤f(x)≤2.
(3)若-1<a<0,則f(x)的圖象向右依次平移一個單位長度,每條折線段在x軸上下交替出現(xiàn),
且從第二段起,每條折線段的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到x軸的距離是上一條折線段的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到x軸距離的|a|倍,
此時,-2<f(x)≤2.其圖象如圖2所示.
綜合(1),(2),(3)知,f(x)的值域為(-2,2],所以描述②錯.
在描述③中,取a=4
4,
x=,則
f()=2-4|-|=1,
而
2ax-=2×(44)-=<1,故描述③錯.
在描述④中,由圖2知,
當(dāng)n=1時,f(x)的圖象與直線y=2a
1-1即y=2在[0,1]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為1,即
1-;
當(dāng)n=2時,f(x)的圖象與直線y=2a
2-1即y=2a在[0,2]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為1,即
2-;
當(dāng)n=3時,f(x)的圖象與直線y=2a
3-1即y=2a
2在[0,3]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為3,即
3-;
當(dāng)n=4時,f(x)的圖象與直線y=2a
4-1即y=2a
3在[0,4]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為3,即
4-;
…
由此猜想:當(dāng)-1<a<0時,函數(shù)f(x)的圖象與直線y=2a
n-1(n∈N
*)在[0,n]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為n-
.
現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明之.
(1)由上可知,當(dāng)n=1時,猜想成立.
(2)假設(shè)n=k時,猜想成立,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=2a
k-1(k∈N
*)在[0,k]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為k-
.
則當(dāng)n=k+1時,如圖2所示,若k為奇數(shù),則交點(diǎn)個數(shù)與n=k時情形相同;
若k為偶數(shù),則交點(diǎn)個數(shù)在n=k時的基礎(chǔ)上增加2個,
所以當(dāng)n=k+1時的交點(diǎn)個數(shù)在n=k時的基礎(chǔ)上增加了1+(-1)
k個,
從而交點(diǎn)個數(shù)為
k-+1+(-1)k=
k+1-,得
(k+1)-,
即當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
綜合(1),(2)知,猜想成立,所以描述④正確.
故①④正確,選C.