已知數(shù)列{an}的首項a1=
2
3
,an+1=
2an
an+1
,n∈N+
(Ⅰ)設(shè)bn=
1
an
-1
證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)數(shù)列{
n
bn
}的前n項和Sn
分析:(Ⅰ)由數(shù)列{an}的首項a1=
2
3
,an+1=
2an
an+1
,推導(dǎo)出an=
2n
2n+1
.所以bn=
1
an
-1
=
1
2n
.由此能夠證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(Ⅱ)由bn=
1
2n
,知
n
bn
=n•2n,故數(shù)列{
n
bn
}的前n項和Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{
n
bn
}的前n項和Sn
解答:解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}的首項a1=
2
3
an+1=
2an
an+1
,
∴a2=
2
3
2
3
+1
=
4
5
,
a3=
4
5
4
5
+1
=
8
9

a4=
8
9
8
9
+1
=
16
17

由此猜想an=
2n
2n+1

用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n-1時,a1=
21
21+1
=
2
3
,成立;
②假設(shè)n=k時,等式成立,即ak=
2k
2k+1
,
ak+1=
2ak
ak+1
=
2k+1
2k+1
2k
2k+1
+1
=
2k+1
2k+1+1
,成立.
∴an=
2n
2n+1

bn=
1
an
-1
=
2n+1
2n
-1=
1
2n

∵b1=
1
a1
-1=
3
2
-1=
1
2
,
bn+1
bn
=
1
2n+1
1
2n
=
1
2
,
∴數(shù)列{bn}是首項為
1
2
,公比為
1
2
的等比數(shù)列.
(Ⅱ)∵bn=
1
2n
,
n
bn
=n•2n,
∴數(shù)列{
n
bn
}的前n項和
Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
①-②,得-Sn=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1
=
2×(1-2n)
1-2
-n×2n+1
=-(2-2n+1+n×2n+1),
∴Sn=2-2n+1+n×2n+1=(n-1)•2n+1+2.
點評:本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項和的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意數(shù)學(xué)歸納法、錯位相減法和遞推思想的合理運(yùn)用.
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已知數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
,前n項和Sn=n2an(n≥1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)b1=0,bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Tn
n2
n+1

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已知數(shù)列{an}的首項為a1=2,前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,當(dāng)n≥2,時,an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1
的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(n+1)an,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,n∈N*,求Tn

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1,n是正奇數(shù)
-2,n是正偶數(shù)
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已知數(shù)列{an}的首項為a1=3,通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1(n≥2).
(1)求證:數(shù)列{
1Sn
}
是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)求數(shù)列{an}中的最大項.

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