Question

若△ABC為銳角三角形，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足

2

asin(B+

π

4

)=c，則sinBsinC的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：首先根據(jù)已知條件求出A的大小，進一步利用三角函數(shù)的恒等變換，把結(jié)論變形成正弦型函數(shù)，最后利用三角函數(shù)的定義域求值域．

解答： 解：

2

asin（B+

π

4

）=a（sinB+cosB）=c，
由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B），
∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，
即sinAsinB=cosAsinB，
∴sinA=cosA，
即tanA=1，
由于△ABC為銳角三角形，
A=

π

4

，
則：sinBsinC=sinBsin（

3π

4

-B）
=

2

2

sinBcosB+

2

2

sin²B
=

2

4

（sin2B-cos2B）+

2

4

=

1

2

sin(2B-

π

4

)+

2

4

，
∵0＜B＜

π

2

，0＜

3π

4

-B＜

π

2

，
∴

π

4

＜B＜

π

2

，

π

4

＜2B-

π

4

＜

3π

4

，
則sinBsinC的取值范圍為(

2

2

，

2+ 2

4

]；

點評：本題考查的知識要點：正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的定義域求值域．