如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D是BC邊的三等分點(diǎn)且BD=
1
3
BC,過點(diǎn)D的直線分別交直線AB,AC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),若
AE
AB
(λ>0),
AF
AC
(μ>0),則λ+2μ的最小值為
 
考點(diǎn):平面向量的基本定理及其意義
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析:由已知條件,
EB
=
ED
+
DB
=(1-λ)
AB
,而
ED
=-kλ
AB
+kμ
AC
,
DB
=
1
3
AB
-
1
3
AC
,所以得到(
1
3
-kλ)
AB
+(kμ-
1
3
)
AC
=(1-λ)
AB
.從而得到
1
3
-kλ=1-λ
kμ-
1
3
=0
,消去k并求得μ=
λ
3λ-2
,所以λ+2μ=λ+
3λ-2
,通過求導(dǎo)求關(guān)于λ的函數(shù)λ+
3λ-2
的最小值即可.
解答: 解:
EB
=
ED
+
DB
=(1-λ)
AB
;
E,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線,∴存在實(shí)數(shù)k,使
ED
=k
EF
=k(
AF
-
AE
)
=-kλ
AB
+kμ
AC
,
DB
=
1
3
CB
=
1
3
AB
-
1
3
AC
;
(
1
3
-kλ)
AB
+(kμ-
1
3
)
AC
=(1-λ)
AB
;
1
3
-kλ=1-λ
kμ-
1
3
=0

由②得,k=
1
帶入①得,
1
3
-
λ
=1-λ

μ=
λ
3λ-2
;
λ+2μ=λ+
3λ-2
;
設(shè)f(λ)=λ+
3λ-2
,λ>0;
f′(λ)=
9λ2-12λ
(3λ-2)2
,令f′(λ)=0得,λ=0,或
4
3

λ∈(0,
4
3
)
時(shí),f′(λ)<0,λ∈(
4
3
,+∞)
時(shí),f′(λ)>0;
λ=
4
3
時(shí),f(λ)取極小值,也是最小值;
∴f(λ)的最小值為
8
3
;
即λ+2μ的最小值為
8
3

故答案為:
8
3
點(diǎn)評(píng):考查向量的加法、減法運(yùn)算,共線向量基本定理,以及平面向量基本定理,通過求導(dǎo)求函數(shù)的最小值的方法及過程.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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g(x)
x

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1
2
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f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0”,下列函數(shù)滿足這些條件的函數(shù)是( 。
A、f(x)=lnx
B、f(x)=x 
1
3
C、f(x)=ax(0<a<1)
D、f(x)=ax(a>1)

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