Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形紙片ABCD的長為2，寬為1．點A與坐標原點重合，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上．將矩形紙片沿直線折疊一次，使點A落在邊CD上，記為點A′．
（1）如果點A′與點D重合，寫出折痕所在的直線方程．
（2）如果點A′不與點D重合，且△ADA′的外接圓與直線BC相切，求這個外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，折痕所在的直線方程為：y=

1

2

（2）由題意可設(shè)點A'的坐標是（a，1），根據(jù)題意線段AA′的中點是所求外接圓的圓心，AA′是所求外接圓的直徑，從而可求Rt△ADA′外接圓方程，再由直線與圓相切，利用圓心到該直線的距離等于半徑可求a的值，進而可求圓的方程

解答：解：（1）由題意可得，折痕所在的直線方程為：y=

1

2

（2）設(shè)點A'的坐標是（a，1），則線段A’A的中點的坐標是（

a

2

，

1

2

）
∴AA′=

1+a2

∴Rt△ADA′的外接圓圓心是點O，半徑是

1

2

1+a2

∴Rt△ADA′外接圓方程是(x-

a

2

)2+(y-

1

2

) 2=

1+a2

4

∵直線與圓相切
∴點O到BC的距離等腰

1

2

1+a2

∴

1

2

1+a2

=2-

a

2

解得a=

15

8

∴所求圓的方程是(x-

15

16

)2+(y-

1

2

)2=

289

256

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，而直線與圓相切時，常用的處理方法有兩個：①聯(lián)立直線與圓的方程，可得方程有兩個相等的實數(shù)根②圓心到直線的距離等于半徑，方法②可以簡化運算．