Question

如圖，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設(shè)∠AOP=θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析：根據(jù)CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP進而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，進而利用三角形面積公式表示出S（θ）利用兩角和公式化簡整理后，利用θ的范圍確定三角形面積的最大值．

解答：解：因為CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°-θ，∴∠OCP=120°．
在△POC中，由正弦定理得

OP

sin∠PCO

=

CP

sinθ

，∴

2

sin120°

=

CP

sinθ

，所以CP=

4

3

sinθ．
又

OC

sin(60°-θ)

=

2

sin120°

，∴OC=

4

3

sin（60°-θ）．
因此△POC的面積為
S（θ）=

1

2

CP•OCsin120°=

1

2

•

4

3

sinθ•

4

3

sin（60°-θ）×

3

2

=

4

3

sinθsin（60°-θ）=

4

3

sinθ（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）
=

4

3

（

3

2

sinθcosθ-

1

2

sin²θ）
=

2

3

（

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

）
=

2

3

[cos（2θ-60°）-

1

2

]，θ∈（0°，60°）．
所以當θ=30°時，S（θ）取得最大值為

3

3

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的模型的應(yīng)用．考查了考生分析問題和解決問題的能力．