Question

若函數(shù)f（x）對于任意的x，y∈R滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．
（1）證明：f（x）是奇凼數(shù)；
（2）判斷 f（x）在R上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）通過賦值法令x=x，y=-x即可獲得f（-x）與f（x）的關系，從而問題即可獲得求解；
（2）利用賦值法，通過函數(shù)的單調性的定義證明函數(shù)的單調性．

解答： 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
f（x）的定義域為R，關于數(shù)0對稱，
令x=x，y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）
則f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）為單調遞減函數(shù)，
當x＞0時，f（x）＜0．f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=x₂，y=-x₁，且x₂＞x₁，f（x₂-x₁）＜0
則f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）為單調遞減函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應用，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調性的判斷與證明，考查基本知識的應用．