設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集，且滿足條件f（4）=1，對任意x1，x2屬于正實(shí)數(shù)，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且當(dāng)x1≠x2時(shí)，有
f(x2)-f(x1)x2-x1
＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＜2，求x的取值范圍．
分析：（1）利用賦值法，令x1=x2=1可求出f（1）的值；
（2）根據(jù)f（4）=1可得f（16）=2，從而將f（x+6）＜2轉(zhuǎn)化成f（x+6）＜f（16），然后函數(shù)的單調(diào)性和定義域建立關(guān)系，解之即可．
解答：解：（1）∵對任意x1，x2屬于正實(shí)數(shù)，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴令x1=x2=1得f（1）=f（1）+f（1）即f（1）=0
（2）∵f（4）=1
∴2=f（4）+f（4）=f（16）
則f（x+6）＜2=f（16）
∵當(dāng)x1≠x2時(shí)，有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＞0．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
而函數(shù)f（x）的定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集
則
x+6＜16
x+6＞0
解得-6＜x＜10
∴x的取值范圍為：-6＜x＜10
點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)求值，以及利用抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-cosx，則a=f（-
3
2
）與b=f（
15
2
）的大小關(guān)系為
a＞b
a＞b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③當(dāng)x∈[0，
1
4
]時(shí)，f（x）≥2x恒成立．則f(
3
7
)+f(
5
9
)=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-cosx，則a=f（-數(shù)學(xué)公式）與b=f（數(shù)學(xué)公式）的大小關(guān)系為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年安徽省蚌埠二中高三（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-cosx，則a=f（-）與b=f（）的大小關(guān)系為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省月考題 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x﹣cosx，則a=f（﹣）與b=f（）的大小關(guān)系為（    ）．

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