Question

若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當0＜x≤1時，f（x）=2^1-x；當x＞1時，f（x）=f（x-1）．則函數(shù)的零點有 ________個．

Answer 1

7
分析：先利用函數(shù)的奇偶性和周期性把f（x）在原點右側(cè)的圖象畫出，再把y=x的圖象畫出，看在原點右側(cè)的交點個數(shù)，再利用兩個函數(shù)都是奇函數(shù)的結(jié)論．
解答：解：因為當x＞1時，f（x）=f（x-1），
所以f（x+1）=f[（x+1）-1]=f（x）
在[0，+∞）上其周期為1．
因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，
又因為y=x也是奇函數(shù)，所以函數(shù)的零點關(guān)于原點對稱，
故我們看在（0，+∞）上的交點個數(shù)即可，把函數(shù)f（x）與y=x的圖象畫出，由圖得，交點3個，又因為都過原點，故零點有1+2×3=7個
故答案為 7．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，函數(shù)的零點的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，又可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，函數(shù)與方程的思想得到了很好的體現(xiàn)．