Question

觀察下面幾個等式（a-b）（a+b）=a²-b²（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵可得到猜想：aⁿ-bⁿ=

（a-b）（a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+…+ab^n-2+b^n-1）

（n∈N₊，N≥2）．

Answer 1

分析：根據(jù)所給信息，可知各個等式的左邊兩因式中，一項為（a-b），另一項每一項的次數(shù)均為n-1，而且按照字母a的降冪排列，故可得答案．

解答：解：由題意，當n=1時，有（a-b）（a+b）=a²-b²；
當n=2時，有（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
當n=3時，有（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
當n=4時，有（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵；
所以得到猜想：當n∈N^*時，有（a-b）（aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ）=aⁿ-bⁿ；
故答案為：（aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ）=aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹．

點評：本題的考點是歸納推理，主要考查信息的處理，關鍵是根據(jù)所給信息，可知兩因式中，一項為（a-b），另一項每一項的次數(shù)均為n-1，而且按照字母a的降冪排列．